Question

12．設M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點，DE⊥AB于E(如圖)．現將△ADE沿DE折起，使二面角

A－DE－B為45°，此時點A在平面BCDE內的射影恰為點B，則M、N的連線與AE所成角的大小等于_________．

Answer 1

12. 90°

解法一：折疊后圖形如下圖所示.

易知∠AEB=45°，∠ABE=90°，∴AB=BE.

取AE中點Q，連MQ、BQ.

∵MQDE，DEBC，N為BC中點，

∴MQBN.∴BQ∥MN.∵BQ⊥AE，∴MN⊥AE，即M、N連線與AE成90°角.

解法二：如下圖所示，設EB=a，易知∠AEB=45°，∴AB=EB=a，AE=a.取DE中點F，則MF=AE=a，FN=BE=a，∠MFN=∠AEB=45°.

∴在△MFN中，由余弦定理得MN=a.

∴MN²+FM²=FN².∴MN⊥MF，即MN與MF成90°角.

又MF∥AE，∴MN與AE成角為90°.