Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，F、F₁分別是AC、A₁C₁的中點．
（1）求證：平面AB₁F₁∥平面C₁BF；
（2）求證：平面AB₁F₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用面面平行的判定定理只要證明B₁F₁∥BF，AF₁∥C₁F，即可證明；
（2）利用線面、面面垂直的判定定理只要證明B₁F₁⊥平面ACC₁A₁，即可證明．

解答： （1）證明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵F、F₁分別是AC、A₁C₁的中點，
∴B₁F₁∥BF，AF₁∥C₁F，
又∵B₁F₁∩AF₁，BF∩C₁F
∴平面AB₁F₁∥平面C₁BF；
（2）∵F₁是A₁C₁的中點．△A₁B₁C₁是等邊三角形，
∴B₁F₁⊥A₁C₁，面A₁B₁C₁，
又AA₁⊥平面A₁B₁C₁，又B₁F₁?平面A₁B₁C₁
∴AA₁⊥B₁F₁，
∴B₁F₁⊥平面ACC₁A₁．
∴平面AB₁F₁⊥平面ACC₁A₁．

點評：本題考查了三棱柱中的面面平行以及面面垂直的證明；關鍵是明確三棱柱的性質，將面面關系，轉化為線面關系和線線關系解答．