Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx（a≠0，a、b為常數）滿足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有兩相等實根
（1）求f（x）的解析式；
（2）在區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，試確定實數m的范圍．
（3）是否存在實數m和n（m＜n ），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，如果存在求出m和n的值．

Answer 1

分析：（1）由f（1-x）=f（1+x），得函數的對稱軸為x=1，又方程f（x）=x有兩相等實根，即ax²+（b-1）x=0有兩相等實根，利用△=0可得關于a，b的方程，由此可求出a，b的值．
（2）區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，轉化成二次函數在區間[-1，1]上恒為正，借助二次函數的性質轉化即可求參數．
（3）本題主要是借助函數的單調性確定出函數在[m，n]上的單調性，找到區間中那個自變量的函數值是3m，3n，由此建立方程求解，若能解出值，說明存在，否則不存在．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x）∴f（x）的對稱軸為x=1即-

b

2a

=1即b=-2a．
∵f（x）=x有兩相等實根∴ax²+bx=x即ax²+（b-1）x=0有等根0，
∴b=1，a=-

1

2

∴f(x)=-

1

2

x2+x
（2）在區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，
即-

1

2

x2+x＞2x+m在區間[-1，1]上恒成立
 即x²+2x+2m＜0在區間[-1，1]上恒成立故有

1-2+2m＜0 1+2+2m＜0

解得m＜-

3

2

 即當m＜-

3

2

時，在區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方
（3）f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1) 2+

1

2

≤

1

2

   故3n≤

1

2

，故m＜n≤

1

6

  又函數的對稱軸為x=1，故f（x）在[m，n]單調遞增則有

f(m)=3m f(n)=3n

  解得

m=0或m=-4 n=0或n=-4

，又m＜n，故m=-4，n=0

點評：本題考點是二次函數的性質考查綜合利用函數的性質與圖象轉化解題，（1）中通過有相等的0根這一特殊性求參數；（2）中將函數圖象的位置關系轉化成了二次函數在區間上大于0恒成立的問題，借助函數的圖象轉化；（3）解法入手中最為巧妙，根據其圖象開口向下這一性質，求出函數的最大值，利用最大值解出參數n的取值范圍，從而結合對稱軸為x=1得出函數在區間[m，n]單調性，得到方程組

f(m)=3m f(n)=3n

求參數，題后應好好總結每個小題的轉化規律．