Question

【題目】設{an}是公比為q的等比數列．
（1）試推導{an}的前n項和公式；
（2）設q≠1，證明數列{an+1}不是等比數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：當q=1時，Sn=na1；

當q≠0，1時，由Sn=a1+a2+…+an，

得qSn=a1q+a2q+…+an﹣1q+anq．

兩式錯位相減得（1﹣q）Sn=a1+（a2﹣a1q）+…+（an﹣an﹣1q）﹣anq，（*）

由等比數列的定義可得 ，

∴a2﹣a1q=a3﹣a2q=…=0．

∴（*）化為（1﹣q）Sn=a1﹣anq，

∴ ．

∴ ；

（2）證明：

用反證法：設{an}是公比為q≠1的等比數列，數列{an+1}是等比數列．

①當存在n∈N*，使得an+1=0成立時，數列{an+1}不是等比數列．

②當n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立時，則 = = ，

化為（qn﹣1﹣1）（q﹣1）=0，

∵q≠1，∴q﹣1≠0，qn﹣1﹣1≠0，故矛盾．

綜上兩種情況：假設不成立，故原結論成立．

【解析】（1）分q=1與q≠1兩種情況討論，當q≠1，0時，利用錯位相減法即可得出；（2）分①當存在n∈N* ， 使得an+1=0成立時，顯然不成立；②當n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立時，使用反證法即可證明．
【考點精析】掌握等比數列的前n項和公式和等比關系的確定是解答本題的根本，需要知道前項和公式：；等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷．