Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，側面ABB₁A₁是邊長為2的菱形，且∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中點，MB⊥AC．
①求證：BM⊥平面ABC；
②求點M到平面BB₁C₁C的距離．

Answer 1

分析：①由于側面ABB₁A₁是邊長為2的菱形，M是A₁B₁的中點得BB₁=2，B₁M=1，然后在△BB₁M中，由余弦定理得：BM²=4+1-2×2×1×

1

2

=3利用勾股定理可得BM⊥A₁B₁，又BM⊥AC，得證BM⊥平面ABC
②直接求點M到平面BB₁C₁C的距離不好求，利用等體積法轉化后可求得點到面的距離．

解答：①證明：∵∠A₁AB=60°∴∠BB₁M=60°
∵側面ABB₁A₁是邊長為2的菱形，M是A₁B₁的中點
∴BB₁=2，B₁M=1∴在△BB₁M中，
由余弦定理得：BM²=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴BB₁²=BM²+BM²∴∠BMB₁=90°，
∴BM⊥A₁B₁
∴BM⊥AB∵BM⊥AC，AB∩AC=C，
∴BM⊥平面ABC
②解：連接MC₁，BC₁，取BC₁的中點O，連接OB₁，
由①知BM⊥平面ABC，
∴BM⊥平面A₁B₁C₁，
∵A₁B₁，MC₁?平面A₁B₁C₁
∴BM⊥MC₁，BM⊥A₁B₁，
又△A₁B₁C₁是正三角形，M為中點，∴A₁B₁⊥MC₁
∵MC₁∩BM=M，∴B₁M⊥面BMC₁．∴VB1-BMC1=

1

3

×1×

1

2

×

3

×

3

=

1

2

在RT△BMC₁中，BM=C₁M=

3

，∴C₁B=

6

∴BO=

6

2

，由于BB₁=B₁C₁=2，∴B₁O=

4- 6 4

=

10

2

設點M到平面BB₁C₁C的距離為h，
則VM-BB1C1   =

1

3

×h×S△BB1C1=

1

3

×h×

1

2

×

6

×

10

2

∵VB1-BMC1=VM-BB1C1  
∴h=

15

5

∴點M到平面BB₁C₁C的距離為

15

5

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，注意余弦定理的應用，是個中檔題．