Question

如圖所示，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為2，側棱與底面所成角為

π

3

，且側面ABB₁A₁垂直于底面．
（1）判斷B₁C與C₁A是否垂直，并證明你的結論；
（2）求四棱錐B-ACC₁A₁的體積．

Answer 1

分析：（1）判斷知，B₁C與C₁A垂直，可在平面BA₁內，過B₁作B₁D⊥AB于D，證明B₁C⊥平面ABC₁，再由線面垂直的定義得出線線垂直；
（2）由圖形知，VB-ACC1A1=2VB-A1AC=2VA1-ABC，變換棱錐的底與高后，求出它的體積即可；

解答：解：（1）B₁C⊥C₁A證明如下：
在平面BA₁內，過B₁作B₁D⊥AB于D，
∵側面BA₁⊥平面ABC，
∴B₁D⊥平面ABC，∠B₁BA是BB₁與平面ABC所成的角，
∴∠B₁BA=60°，連接BC₁，∵BB₁CC₁是菱形，
∴BC₁⊥B₁C，CD⊥平面A₁B，B₁D⊥AB，
∴B₁C⊥AB，
∴B₁C⊥平面ABC₁，
∴B₁C⊥C₁A．
（2）解：由題意及圖，VB-ACC1A1=2VB-A1AC=2VA1-ABC=2×

1

3

×

3

4

×4×

3

=2
答：四棱錐B-ACC₁A₁的體積為2

點評：本題考查直線與平面所成角的定義，線面垂直的判定定理，線面垂直的定義，解題的關鍵是證明B₁C⊥平面ABC₁，由線面垂直證明線線垂直是立體幾何中證明線線垂直常用的方法，第二小題中，變換棱錐的高與底，是求體積時常用的技巧，其特征是變換后，棱錐的底與高易求