Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長AB=2，BC=3，BC⊥面ABC₁，CC₁與面ABC所成的角為60°則斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的最小值是

9

3

．

Answer 1

分析：在平面ABC₁內，過C₁作C₁H⊥AB于H，連接HC，可得C₁H⊥平面ABC，即∠C₁CH就是側棱CC₁與底面所成的角，由已知中側棱與底面成60°角，故可得當CH=BC時，棱柱的體積取最小值，求出棱柱的底面積和高，代入棱柱體積公式即可得到答案．

解答：解：∵AC⊥平面ABC₁，BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC₁，
在平面ABC₁內，過C₁作C₁H⊥AB于H，則C₁H⊥平面ABC
連接HC，則∠C₁CH就是側棱CC₁與底面所成的角，∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH•tan60°=

3

CH
V_棱柱=S_△ABC•C₁H=

1

2

AB×AC×C₁H=

1

2

×3×2×

3

CH=3

3

CH
∵CB⊥AB，∴CH≥CB=3，
∴棱柱體積最小值3

3

×3=9

3

．
故答案為：9

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查棱柱的體積，空間線面關系，屬于中檔題．