Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）右頂點與右焦點的距離為 ﹣1，短軸長為2 ． （Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若△OAB（O為直角坐標原點）的面積為 ，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓 =1（a＞b＞0）右頂點與右焦點的距離為 ﹣1，短軸長為2 ．∴由題意得 ，
解得a= ，c=1
所以所求橢圓方程為 ．
（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，|AB|= ，
此時S△AOB= 不符合題意故舍掉．
當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x+1），
由
消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則 ，
∴|AB|= =
= = =
原點O到直線的AB距離d= ，
∴三角形的面積 = = ，
解得k= ．
直線AB的方程為y= （x+1），或y=﹣ （x+1）．
即 ，或
【解析】（Ⅰ）由橢圓右頂點與右焦點的距離為 ﹣1，短軸長為2 ，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，不符合題意；當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x+1），由 ，得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積公式，結合已知條件能求出直線AB的方程．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．