Question

【題目】已知 ，B（0，2），C（1，0），斜率為 的直線l過點A，且l和以C為圓心的圓相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在圓C上是否存在點P，使得 ，若存在，求出所有的點P的坐標；若不存在說明理由；
（3）若不過C的直線m與圓C交于M，N兩點，且滿足CM，MN，CN的斜率依次為等比數列，求直線m的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，B（0，2），C（1，0），斜率為 的直線l過點A，

∴l：x﹣2y+4=0，

∵直線l和圓C相切，∴設圓C的半徑為r，

則 ，

∴圓C：（x﹣1）2+y2=5

（2）解：設P（x，y），則由PB2=8PA2，得7x2+7y2+16x﹣20y+22=0，

又∵點P在圓C上，∴ ，

相減得：3x﹣2y+5=0，

代入x2+y2﹣2x=4，得13x2+22x+9=0，

解得x=﹣1或 ，

∴點的坐標為P（﹣1，1）或

（3）解：若直線m的斜率不存在，則MN的斜率也不存在，不合題意：

若直線m的斜率存在且為k，設直線m：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），

直線m與圓（x﹣1）2+y2=5聯立，得（1+k2）x2+2（kb﹣1）x+b2﹣4=0，

由k2=kCMkCN，得 ，

即k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）=（kx1+b）（kx2+b）．

整理得： ，

∵m不過C點，∴k+b≠0，∴上式化為k（x1+x2）+b﹣k=0．

將 代入得：k2b﹣k+k3﹣b=0，

即（k2﹣1）（k+b）=0，

∵k+b≠0，∴k2=1，

∴直線m的斜率為±1

【解析】（1）利用直線的斜率及其上的點求得直線的方程，再利用圓與直線相切求得圓的半徑，從而求得圓的方程；（2）利用點P在圓上和線段PA，PB的長度關系得到x，y的方程組，解方程組得到點P的坐標；（3）分直線m的斜率存在與不存在兩種情況，依據題意直線m的斜率存在，利用直線m與圓的位置關系及CM，MN，CN的斜率依次為等比數列，以及根與系數的關系化簡得到k，b的值，最終解的k的值.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與圓的三種位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．