Question

【題目】已知函數f（x）=sinx﹣cosx+x+1，x∈[0，2π]
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）求函數f（x）的極小值和最大值，并寫明取到極小值和最大值時分別對應x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=sinx﹣cosx+x+1，x∈[0，2π]

則：f′（x）=cosx+sinx+1= sin（x+ ）+1

令f′（x）=0，即sin（x+ ）=﹣ ，

（x∈[0，2π]）

解得：x=π或x= π．

x，f′（x）以及f（x）變化情況如下表：

x	（0，π）	π	（π， π）	π	（ π，2π）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	遞增	π+2	遞減		遞增

根據導函數的值為負區間即為函數f（x）的單調減區間，

∴函數f（x）的單調減區間為（π， π）

（2）解：由（1）知當x= 時，函數f（x）取得極小值，即f （x）極小=f（ π）= ．

當x=π時，函數f（x）取得極大值，即f（π）=π+2，

∴f（x）max=f（2π）=2π，

故得函數f（x）的極小值為 ，此時x= ；最大值為2π，此時x=2π

【解析】（1）利用導函數求解決函數f（x）的單調遞減區間；（2）利用單調性求解函數f（x）的極小值和最大值，求對應x的值．
【考點精析】關于本題考查的正弦函數的單調性和三角函數的最值，需要了解正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能得出正確答案．