Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設曲線和交于，兩點，點，若，，成等比數列，求的值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的普通方程是：，曲線的直角坐標方程為：； （2）

【解析】

（1）根據參數方程化普通方程、極坐標與直角坐標互化的原則進行化簡即可得到結果；（2）利用在上，可寫出直線參數方程的標準形式；將參數方程代入的普通方程，利用的幾何意義可知：，，；根據，，成等比數列，結合韋達定理可得到關于的方程，解方程求得結果.

（1）由題意得：曲線的普通方程是：

曲線的直角坐標方程為：

（2）易知在上 可設直線的參數方程為：（為參數）

將直線的參數方程代入曲線的普通方程，可得：

，整理可得：

設對應的參數分別是，則，，

，

又，，成等比數列

則

即：，解得：