Question

下列命題（為虛數(shù)單位）中正確的是
①a，b∈R，若a＞b，則a+i＞b+i；
②當(dāng)z是非零實數(shù)時，|z+

1

z

|≥2恒成立；
③復(fù)數(shù)z=（1-i）³的實部和虛部都是-2；
④如果|a+2i|＜|-2+i|，則實數(shù)a的取值范圍是-1＜a＜1；
⑤復(fù)數(shù)z₁，z₂與復(fù)平面的兩個向量

OZ1

，

OZ2

相對應(yīng)，則

OZ1

•

OZ2

=z1•z2
其中正確的命題的序號是

②③④

．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①復(fù)數(shù)不能比較大小，故不正確；
②利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出；
③利用復(fù)數(shù)的運算法則即可化簡出；
④利用復(fù)數(shù)模的計算公式即可得出；
⑤利用向量的數(shù)量積的意義和復(fù)數(shù)乘法的意義即可判斷出．

解答：解：①復(fù)數(shù)不能比較大小，因此a+i＞b+i不正確；
②當(dāng)z是非零實數(shù)時，(z+

1

z

)2=z2+

1

z2

+2≥2

z• 1 z

+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)z²=1時取等號，∴|z+

1

z

|≥2，故正確；
③z=（1-i）²（1-i）=-2i（1-i）=-2-2i，∴復(fù)數(shù)z的實部和虛部都是-2，正確；
④如果|a+2i|＜|-2+i|，a為實數(shù)，則

a2+22

＜

(-2)2+12

，化為a²＜1，解得-1＜a＜1，∴實數(shù)a的取值范圍是-1＜a＜1，正確；
⑤由向量的數(shù)量積可知：

OZ1

•

OZ2

是一個實數(shù)；由復(fù)數(shù)的乘法運算法則可知：z₁•z₂表示一個復(fù)數(shù)，因此二者不是一回事，故不正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為②③④．

點評：熟練掌握復(fù)數(shù)不能比較大小的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)模的計算公式、向量的數(shù)量積的意義和復(fù)數(shù)乘法的意義、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．