Question

給出下列5個命題：
①0＜a≤

1

5

是函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為單調減函數的充要條件；
②如圖所示，“嫦娥探月衛星”沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2C_l和2_c2分別表示摘圓軌道I和II的焦距，用2a₁和2a₂分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有c₁a₂＞a₁c₂；
③函數y=f（x）與它的反函數y=f^-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④己知函數f（x）=log_a（1-ax）在（O，1）上滿足，f′（x）＞0，貝U

1

1-a

＞1+a＞

2a

；
⑤函數f（x）=

tan2x+ (1+i)2 i +1

tan2x+2

（x≠kπ+

π

2

），k∈Z，/為虛數單位）的最小值為2；
其中所有真命題的代號是

 

．

Answer 1

分析：①利用二次函數的性質，由其在區間（-∞，4]上為單調減函數解出參數的取值范圍，依據依據充要條件的定義進行判斷即可
②由橢圓的性質進行判斷即可；
③利用特例說明其不成立即可；
④利用對數函數單調性的性質進行判斷即可得到結論；
⑤化簡，構造出積為定值的形式用基本不等式判斷出最小值是否是2．

解答：解：對于①：函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為單調減函數，若a=0時成立，若a＞0時，必有

a-1

a

≥4解得a≤-

1

3

無解，故可得出a=0，由此知①中的條件與結論之間是既不充分也不必要條件．故不是真命題；
②由橢圓的性質知a₁-C_l=a₂-c₂，即有a₂+C_l=a₁+c₂，此四數構成一個等差數列，由基本不等式得c₁a₂＞a₁c₂，故此命題正確；
③y=f（x）與它的反函數y=f^-1（x）的圖象圖象重合時，其公共點可以不在y=x上；
④導數大于0，說明對數函數在（O，1）上是增函數，又內層函數減，故外層函數減，所以a∈（O，1），驗證知

1

1-a

＞1+a＞

2a

成立，故命題正確；
⑤函數f（x）=

tan2x+ (1+i)2 i +1

tan2x+2

=

tan2x+3

tan2x+2

=

1

tan2x+2

+

tan 2x+2

≥2，由于

1

tan2x+2

=

tan 2x+2

不成立，故最小值取不到．此命題不正確．
綜上②④是正確命題
故答案為②④

點評：本題作為一個判斷命題真假的題目，涉及到了函數的單調性橢圓的性質等內容，題目較難判斷，每一個知識點都是高考中比較重要的，從中總結下對命題的考試與這些知識的銜接吧．