Question

下列命題（i為虛數單位）中正確的是
①已知a，b∈R，則a=b是（a-b）+（a+b）i為純虛數的充要條件；
②當z是非零實數時，|z+

1

z

|≥2恒成立；
③復數z=（1-i）³的實部和虛部都是-2；
④如果|a+2i|＜|-2+i|，則實數a的取值范圍是-1＜a＜1；
⑤復數z=1-i，則

1

z

+z=

3

2

+

1

2

i
其中正確的命題的序號是

②③④

．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：根據復數的概念以及基本運算分別進行判斷．

解答：解：①若（a-b）+（a+b）i為純虛數，則a-b=0，且a+b≠0，即a=b≠0，∴a=b是（a-b）+（a+b）i為純虛數的必要不充分條件，∴①錯誤．
②當z是非零實數時，由基本不等式可知，|z+

1

z

|=|z|+|

1

z

|≥2恒成立，∴②正確．
③z=（1-i）³=（1-i）²（1-i）=-2i（1-i）=-2-2i，∴實部和虛部都是-2，∴③正確．
④由|a+2i|＜|-2+i|，得

a2+4

＜

22+1

，即a²+4＜5，∴a²＜1，解得-1＜a＜1，∴④正確．
⑤若z=1-i，則

1

z

+z=1-i+

1

1-i

=1-i+

1+i

2

=

3

2

-

1

2

i，∴⑤錯誤．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查復數的有關概念和復數的四則運算，比較基礎．