Question

如圖，在△ABC中，D是BC上的點，∠C=∠D=2∠DAB，△BAD的面積與△CAD的面積相等，且

2

sinB=sinC
（Ⅰ）求∠BAC；
（Ⅱ）求a：b：c．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）設∠DAB=α，則∠CAD=2α，根據，△BAD的面積與△CAD的面積相等，利用三角形面積公式化簡，整理得到

c

b

=2cosα，利用正弦定理化簡，整理求出cosα的值，即可確定出∠BAC的度數；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關系式，將cos∠BAC與c=

2

b代入表示出a，即可求出三邊之比．

解答： 解：（Ⅰ）設∠DAB=α，則∠CAD=2α，
∵S_△BAD=S_△CAD，
∴

1

2

AD•ABsinα=

1

2

AC•ADsin2α，
整理得：ACsin2α=ABsinα，即

AB

AC

=

c

b

=2cosα，
∵

2

sinB=sinC，
∴由正弦定理化簡得：

2

b=c，
∴cosα=

2

2

，
∴α=45°，∠BAC=3α=135°；
（Ⅱ）∵∠BAC=135°，c=

2

b，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cos135°=2b²+b²-2

2

b•b•（-

2

2

）=5b²，即a=

5

b，
∵c=

2

b，
∴a：b：c=

5

：1：

2

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．