Question

【題目】設函數f（x）= x2+alnx（a＜0）．
（1）若函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線斜率為 ，求實數a的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）設g（x）=x2﹣（1﹣a）x，當a≤﹣1時，討論f（x）與g（x）圖象交點的個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= x2+alnx的導數為f′（x）=x+ ，

由函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線斜率為 ，

可得2+ = ，解得a=﹣3；

（2）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），

f′（x）= ，

當a＜0時，f′（x）= ，

當0＜x＜ 時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；

當x＞ 時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．

綜上，當a＜0時，f（x）的增區間是（ ，+∞），減區間是（0， ）；

（3）解：令F（x）=f（x）﹣g（x）= x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x

=﹣ x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0，

問題等價于求函數F（x）的零點個數．

當a≤﹣1時，F′（x）=﹣x+1﹣a+ =﹣ ，

由a=﹣1時，F′（x）≤0，F（x）遞減，

由F（3）=﹣ +6﹣ln3= ﹣ln3＞0，F（4）=﹣8+8﹣ln4＜0，

由零點存在定理可得F（x）在（3，4）內存在一個零點；

當a＜﹣1時，即﹣a＞1時，F（x）在（0，1）遞減，（1，﹣a）遞增，（﹣a，+∞）遞減，

由極小值F（1）=﹣ +（1﹣a）+aln1= ﹣a＞0，

極大值F（﹣a）=﹣ a2+a2﹣a+aln（﹣a）= a2﹣a+aln（﹣a）＞0，

由x→+∞時，F（x）→﹣∞，

可得F（x）存在一個零點．

綜上可得，當a≤﹣1時，f（x）與g（x）圖象交點的個數為1．

【解析】（1）求出f（x）的導數，由題意可得切線的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值；（2）求出函數的導數，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間，注意函數的定義域；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x），問題轉化為求函數F（x）的零點個數，通過討論a的范圍，求出函數F（x）的單調性，從而判斷函數F（x）的零點個數即f（x），g（x）的交點即可
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．