Question

【題目】自貢某個工廠于2016年下半年對生產工藝進行了改造（每半年為一個生產周期），從2016年一年的產品中用隨機抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示如圖所示，已知每個生產周期內與其中位數誤差在±5范圍內（含±5）的產品為優質品，與中位數誤差在±15范圍內（含±15）的產品為合格品（不包括優質品），與中位數誤差超過±15的產品為次品．企業生產一件優質品可獲利潤20元，生產一件合格品可獲利潤10元，生產一件次品要虧損10元．

（Ⅰ）求該企業2016年一年生產一件產品的利潤的分布列和期望；
（Ⅱ）是否有95%的把握認為“優質品與生產工藝改造有關”．
附：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

K2= ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）上半年的數據為：13，14，18，21，22，26，27，29，31，34，35，35，35，38， 42，43，45，46，46，53，54，57，58，61，62；
“中位數”為35，優質品有6個，合格品有10個，次品有9個；
下半年的數據為：13，18，20，24，24，28，29，30，31，32，33，33，35，36，37，
40，41，42，42，43，47，49，51，58，62；
“中位數”為35，優質品有9個，合格品有11個，次品有5個；
則這個樣本的50件產品的利潤的頻率分布表為

利潤	頻數	頻率
20	15	0.3
10	21	0.42
﹣10	14	0.28

所以，該企業2016年一年生產一件產品的利潤的分布列為

	頻率	利潤
優質品	0.3	6
合格品	0.42	4.2
次品	0.28	﹣2.8

期望值為6+4.2﹣2.8=7.4；
（Ⅱ）由題意，填寫2×2列聯表如下；

	上半年	下半年
優質品	6	9	15
非優質品	19	16	35
	25	25	50

計算觀測值K2= ≈0.857，
由于0.857＜3.841，
所以沒有95%的把握認為“優質品與生產工藝改造有關”．
【解析】（Ⅰ）根據上半年和下半年的數據，得出這50件產品的利潤頻率分布表，寫出生產一件產品的利潤分布列，計算期望值；（Ⅱ）填寫2×2列聯表，計算觀測值K2 ， 比較臨界值得出結論．