Question

【題目】已知過原點的動直線與圓:相交于不同的兩點，.

（1）求圓的圓心坐標；

（2）求線段的中點的軌跡的方程；

（3）是否存在實數，使得直線:與曲線只有一個交點?若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）將圓的一般方程整理為標準方程，由此得到圓心坐標；

（2）當直線斜率不存在，與圓無交點，可知斜率存在，設，將直線方程與圓的方程聯立，由可確定的范圍，并得到韋達定理的形式，從而利用表示出中點坐標，消去后即可得到軌跡方程；結合的范圍可確定的范圍，從而得到所求軌跡方程；

（3）由（2）可得的圖象，并確定直線所過的定點；由數形結合的方式可求得結果.

（1）圓:的方程整理得其標準方程：

圓的圓心坐標為

（2）當直線斜率不存在時，方程為，與圓無交點，不合題意

直線斜率存在，設

由得：

則，解得：

設，，中點

則，

消去參數得中點軌跡方程為：

軌跡的方程為：

（3）由（2）知：曲線是圓上的一段劣弧（如圖，不包括兩個端點），且，

直線:過定點

直線:與圓相切時，與沒有公共點

又，

當時，直線:與曲線只有一個交點