Question

【題目】已知函數f（x）=axex ， 其中常數a≠0，e為自然對數的底數． （Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅲ）若直線y=e（x﹣ ）是曲線y=f（x）的切線，求實數a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數的導數f′（x）=a（ex+xex）=a（1+x）ex ， 若a＞0，由f′（x）＞0得x＞﹣1，即函數的單調遞增區間為（﹣1，+∞），
由f′（x）＜0，得x＜﹣1，即函數的單調遞減區間為（﹣∞，﹣1），
若a＜0，由f′（x）＞0得x＜﹣1，即函數的單調遞增區間為（﹣∞，﹣1），
由f′（x）＜0，得x＞﹣1，即函數的單調遞減區間為（﹣1，+∞）；
（Ⅱ）當a=1時，由（1）得函數的單調遞增區間為（﹣1，+∞），函數的單調遞減區間為（﹣∞，﹣1），
即當x=﹣1時，函數f（x）取得極大值為f（﹣1）=﹣ ，無極小值；
（Ⅲ）設切點為（m，amem），
則對應的切線斜率k=f′（m）=a（1+m）em ，
則切線方程為y﹣amem=a（1+m）em（x﹣m），
即y=a（1+m）em（x﹣m）+amem=a（1+m）emx﹣ma（1+m）em+amem=a（1+m）emx﹣m2aem ，
∵y=e（x﹣ ）=y=ex﹣ e，
∴
∴ ，
即若直線y=e（x﹣ ）是曲線y=f（x）的切線，則實數a的值是
【解析】（Ⅰ）求函數的導數，根據函數單調性和導數之間的關系即可求函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）當a=1時，根據函數極值和導數之間的關系即可求函數f（x）的極值；（Ⅲ）設出切點坐標為（m，amem），求出切線斜率和方程，根據導數的幾何意義建立方程關系即可求實數a的值．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．