Question

【題目】已知橢圓的標準方程為，點．

（Ⅰ）經過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點，求．

（Ⅱ）問是否存在直線與橢圓交于兩點、且，若存在，求出直線斜率的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線斜率的取值范圍是.

【解析】分析：（Ⅰ）求直線與圓錐曲線的相交弦長，可求兩個交點的坐標。根據條件可求得直線的方程為，將其與橢圓方程聯立得求得兩個交點坐標。進而用兩點間距離公式可得。（Ⅱ）要求是否存在直線，可設出直線的方程，兩個交點，。中點，由，可得，進而得。所以需求點的坐標。將直線與橢圓聯立可得：，消去得，則由，可得 ①

由一元二次方程根與系數的關系及中點坐標公式可得，根據點在直線上，可得。進而可得。化簡可得，代入可得，化簡可解得。

詳解：（Ⅰ）經過點且傾斜角為，

所以直線的方程為，

聯立，解得或，

∴．

（Ⅱ）設直線，，，

將直線與橢圓聯立可得：

，消去得，

∴，

∴ ① ，

∴，，

設中點，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴代入①可得：，

∴，解得．

故直線斜率的取值范圍是．