Question

【題目】空氣質量指數（Air Quality Index，簡稱AQI）是定量描述空氣質量狀況的質量狀況的指數，空氣質量按照AQI大小分為六級，0～50為優(yōu)；51～100為良101﹣150為輕度污染；151﹣200為中度污染；201～300為重度污染；＞300為嚴重污染． 一環(huán)保人士記錄去年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖．
（Ⅰ）利用該樣本估計該地本月空氣質量優(yōu)良（AQI≤100）的天數；（按這個月總共30天）
（Ⅱ）將頻率視為概率，從本月中隨機抽取3天，記空氣質量優(yōu)良的天數為ξ，求ξ的概率分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）從莖葉圖中可以發(fā)現這樣本中空氣質量優(yōu)的天數為2， 空氣質量良的天數為4，
∴該樣本中空氣質量優(yōu)良的頻率為 ，
從而估計該月空氣質量優(yōu)良的天數為30× =18．
（Ⅱ）由（1）估計某天空氣質量優(yōu)良的概率為 ，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
且ξ～B（3， ），
P（ξ=0）=（ ）3= ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）=（ ）3= ，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

∴Eξ=3× =1.8．
【解析】（1）從莖葉圖中可以發(fā)現這樣本中空氣質量優(yōu)的天數為2，空氣質量良的天數為4，由此能求出該樣本中空氣質量優(yōu)良的頻率，從而能估計該月空氣質量優(yōu)良的天數．（2）估計某天空氣質量優(yōu)良的概率為 ，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3， ），由此能求出ξ的概率分布列和數學期望．
【考點精析】利用莖葉圖和離散型隨機變量及其分布列對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數組中的數按位數進行比較，將數的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數，每個數具體是多少；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．