Question

【題目】如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點，是的中點，點在線段上，且．

（1）證明：平面；

（2）若二面角的大小為60°，求∠BDC的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】（1）如圖，取BD的中點O，以O為原點，OD，OP所在射線為y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系O-xyz．

由題意知A(0，，2)，B(0，，0)，D(0，，0)．設點C的坐標為(x0，y0，0)．

因為，所以Q．因為M為AD的中點，故M(0，，1)．

又P為BM的中點，故P，所以＝．

又平面BCD的一個法向量為u＝(0，0，1)，故，故．

又PQ平面BCD，所以PQ∥平面BCD．

（2）設m＝(x，y，z)為平面BMC的法向量，易得＝(－x0，，1)，＝(0，，1)，

所以取y＝－1，得m＝．

又平面BDM的一個法向量為n＝(1，0，0)，

所以是|cos〈m，n〉|＝，即．①

又BC⊥CD，所以·＝0，即(－x0，，0)·(－x0，，0)＝0，即x02＋y02＝2．②

聯立①②，解得(舍去)或(舍去)或．

所以tan，又是銳角，所以．