Question

已知橢圓的左、右焦點分別為、，為原點.

（1）如圖1，點為橢圓上的一點，是的中點，且，求點到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點，若在橢圓上存在點，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先設點的坐標，并利用點的坐標來表示點的坐標，利用以及點在橢圓上列方程組求解點的坐標，從而求出點到軸的距離；（2）先設點、，利用為平行四邊形，得到，將直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理與點在橢圓上這一條件，列相應等式求出實數的取值范圍.

試題解析：（1）由已知得、，

設，則的中點為，

，，即，

整理得，①，又有，②

由①②聯立解得或（舍）

點到軸的距離為；

（2）設，，，

四邊形是平行四邊形

線段的中點即為線段的中點，即，，

點在橢圓上，，

即，

化簡得，

由得，

由得，④

且，代入③式得，

整理得代入④式得，又，或，

的取值范圍是.

考點：1.直線與橢圓的位置關系；2.韋達定理