Question

現有甲、乙兩個靶，某射手進行射擊訓練，每次射擊擊中甲靶的概率是p₁，每次射擊擊中乙靶的概率是p₂，其中p₁＞p₂，已知該射手先后向甲、乙兩靶各射擊一次，兩次都能擊中與兩次都不能擊中的概率分別為

8

15

，

1

15

．該射手在進行射擊訓練時各次射擊結果互不影響．
（Ⅰ）求p₁，p₂的值；
（Ⅱ）假設該射手射擊乙靶三次，每次射擊擊中目標得1分，未擊中目標得0分．在三次射擊中，若有兩次連續擊中，而另外一次未擊中，則額外加1分；若三次全擊中，則額外加3分．記η為該射手射擊三次后的總的分數，求η的分布列；
（Ⅲ）某研究小組發現，該射手在n次射擊中，擊中目標的次數X服從二項分布．且射擊甲靶10次最有可能擊中8次，射擊乙靶10次最有可能擊中7次．試探究：如果X：B（n，p），其中0＜p＜1，求使P（X=k）（0≤k≤n）最大自然數k．

Answer 1

（Ⅰ）記“該射手向甲靶射擊一次并擊中”為事件A，
“該射手向乙靶射擊一次并擊中”為事件B，
則由題意得，

P(AB)= 8 15 P( . A . B )= 1 15

，
由各次射擊結果互不影響得

P(A)P(B)= 8 15 P( . A )P( . B )= 1 15

，
即

p1p2= 8 15 (1-p1)(1-p2)= 1 15

，
解得p1=

4

5

，p2=

2

3

．…（3分）
（Ⅱ）η的所有可能取值為0，1，2，3，6．…（4分）
記“該射手第i次射擊擊中目標”為事件A_i（i=1，2，3），
則P(η=0)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=(1-

2

3

)3=

1

27

，P(η=1)=P(A1

.

A2

.

A3

+

.

A1

A2

.

A3

+

.

A1

.

A2

A3)=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=

2

3

×(1-

2

3

)2+(1-

2

3

)×

2

3

×(1-

2

3

)+(1-

2

3

)2×

2

3

=

2

9

，P(η=2)=P(A1

.

A2

A3)=

2

3

×(1-

2

3

)×

2

3

=

4

27

，P(η=3)=P(A1A2

.

A3

+

.

A1

A2A3)=P(A1A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2A3)=(

2

3

)2×(1-

2

3

)+(1-

2

3

)×(

2

3

)2=

8

27

，P(η=6)=P(A1A2A3)=(

2

3

)3=

8

27

．
所以η的分布列為：

η	0	1	2	3	6
P	1 27	2 9	4 27	8 27	8 27

…（9分）
（Ⅲ）考察不等式

P(X=k+1)

P(X=k)

=

C k+1n pk+1(1-p)n-k-1

C kn pk(1-p)n-k

=

n-k

k+1

•

p

1-p

≥1，
得k≤（n+1）p-1．
①如果（n+1）p是正整數，那么（n+1）p-1也是正整數．
此時，可以使：k=（n+1）p-1，即k+1=（n+1）p，
且P（X=k+1）=P（X=k）．
則當k取（n+1）p或（n+1）p-1時，P（X=k）取最大值．
②如果（n+1）p不是正整數，那么不等式

P(X=k+1)

P(X=k)

≥1不可能取等號．
所以，對任何k，P（X=k+1）≠P（X=k）．
所以，當k+1＜（n+1）p時，P（X=k+1）＞P（X=k）．
記小于（n+1）p的最大整數為[（n+1）p]，
則當k=[（n+1）p]時，P（X=k）取最大值．
綜上可知，如果（n+1）p是正整數，當k取（n+1）p或（n+1）p-1時，P（X=k）取最大值；
如果（n+1）p不是正整數，當k=[（n+1）p]時，P（X=k）取最大值．…（14分）