Question

【題目】已知函數，.

（1）若曲線與在點處有相同的切線，求函數的極值；

（2）若時，不等式在（為自然對數的底數，）上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的極大值，極小值為；（2）.

【解析】

（1）利用導數的幾何意義求得，再對函數求導，解導數不等式求得單調區間，從而求得函數的極值；

（2）設，定義域為，要使在上恒成立，只需在上恒成立；對分5種情況討論，研究函數的最小值，從而求得的范圍.

（1），，，，

由題意知，∴，

∴，∴，

∴，

∴或時，，時，，

∴在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，

∴的極大值，極小值為.

（2）設，定義域為，

要使在上恒成立，只需在上恒成立，

因為，

由于，所以由，即，可得或，

①當，即，易知，令，

解得.不滿足條件；

②當，即時，則必須，由①知，不滿足條件；

③當，即時，則必須，解得.不滿足條件.

④當，即時，則必須，

由，解得，

設，則，

可知在區間上單調遞增，所以，所以不滿足條件；

⑤當，即時，則必須，解得，而，

所以.

綜上所述的取值范圍是.