Question

【題目】已知橢圓經過點，長軸長是短軸長的2倍.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線經過點且與橢圓相交于兩點（異于點），記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）1。

【解析】

(1) 由橢圓的方程可知，橢圓的焦點在軸上，經過點，可以求出，長軸長是短軸長的2倍，可以求出，由此可以求出橢圓的標準方程。

（2）設出直線的方程，與橢圓的方程聯立，根據一元二次方程根與系數的關系，對進行化簡。

（1）由橢圓可知橢圓的焦點在軸上，經過點所以=1，又因為長軸長是短軸長的2倍，所以=2，因此橢圓的標準方程為：。

（2）若直線的斜率不存在，即直線的方程為，與橢圓只有一個交點，不符合題意。

設直線的斜率為，若=0，直線與橢圓只有一個交點，不符合題意，故。

所以直線的方程為，即， 直線的方程與橢圓的標準方程聯立得：消去得，，

設，則，

，

把代入上式，得

，命題得證。