Question

【題目】已知函數是對數函數.

(1) 若函數，討論的單調性；

(2) 若，不等式的解集非空，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）由對數函數的定義，得到的值，進而得到函數的解析式，再根據復合函數的單調性，即可求解函數的單調性.

(2)不等式的解集非空，得，由（1）知，得到函數的單調性，求得函數的最小值，即可求得實數的取值范圍.

試題解析：

（1）由題中可知： ，解得： ，

所以函數的解析式:

∵

∴ ∴ ∴

即的定義域為

由于

令 則：由對稱軸可知，

在單調遞增，在單調遞減；

又因為在單調遞增，

故單調遞增區間，單調遞減區間為.

(2)不等式的解集非空，

所以，

由（1）知，當時，函數單調遞增區間，單調遞減區間為，

所以

所以， ，所以實數的取值范圍