Question

已知橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

16

=1．
（Ⅰ）求橢圓C的長軸長及離心率；
（Ⅱ）已知直線l過（1，0），與橢圓C交于A，B兩點，M為橢圓C的左頂點．是否存在直線l使得∠AMB=60°？如果有，求出直線l的方程；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

16

=1，確定橢圓的幾何量，即可求橢圓C的長軸長及離心率；
（Ⅱ）分類討論，設直線l的方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理及向量的數量積，可得

MA

•

MB

＜0恒成立，∠AMB為鈍角，即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）由方程

x

4

2+

y2

16

=1可知a=4，b=2
所以長軸長為8，且c²=a²-b²=12
所以離心率

3

2

．
（Ⅱ）（1）當直線l的斜率不存在時，A(1，2

3

)，B(1，-2

3

)

MA

•

MB

=-3
（2）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 16 =1

消去y得：（4+k²）x²-2k²x+k²-16=0．
則

x1+x2= 2k2 4+k2 x1x2= k2-16 4+k2

，

MA

•

MB

=(x1+2)(x2+2)+y1y2=（x₁+2）（x₂+2）+k（x₁-1）k（x₂-1）
=(k2+1)x1x2+(2-k2)(x1+x2)+4+k2=

-3k2

4+k2

＜0
綜上，

MA

•

MB

＜0恒成立，∠AMB為鈍角
所以，不存在直線l使得∠AMB=60°

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識，解題的關鍵是直線與橢圓聯立，利用韋達定理進行求解．