Question

定義函數(shù)f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[1.3]=1，[-2.5]=-3，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N^*）時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)榧�合A，設(shè)A中元素個(gè)數(shù)為a_n，則使

an+49

n

取最小值時(shí)，n的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：當(dāng)x∈[0，1），[x]=0，∴f（x）=[x•[x]]=[0]=0，此時(shí)當(dāng)n=1時(shí)，A={0}，a₁=1；當(dāng)x∈[1，2），[x]=1，∴f（x）=[x•[x]]=[x]=1，因此當(dāng)n=2時(shí)，A={0，1}，a₂=2；
當(dāng)x∈[2，3），[x]=2，∴f（x）=[x•[x]]=[2x]=

4，x∈[2， 5 2 ) 5，x∈[ 5 2 ，3)

，因此當(dāng)n=3時(shí)，A={0，1，4，5}，a₃=4；…，可得取x∈[0，n）時(shí)，a_n=

n2-n+2

2

．代入再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：當(dāng)x∈[0，1），[x]=0，∴f（x）=[x•[x]]=[0]=0，此時(shí)當(dāng)n=1時(shí)，A={0}，a₁=1；
當(dāng)x∈[1，2），[x]=1，∴f（x）=[x•[x]]=[x]=1，因此當(dāng)n=2時(shí)，A={0，1}，a₂=2；
當(dāng)x∈[2，3），[x]=2，∴f（x）=[x•[x]]=[2x]=

4，x∈[2， 5 2 ) 5，x∈[ 5 2 ，3)

，因此當(dāng)n=3時(shí)，A={0，1，4，5}，a₃=4；
當(dāng)x∈[3，4），[x]=3，∴f（x）=[x•[x]]=[3x]=

9，x∈[3， 10 3 ) 10，x∈[ 10 3 ， 11 3 ) 11，x∈[ 11 3 ，4)

，因此當(dāng)n=4時(shí)，A={0，1，4，5，9，10，11}，a₄=7；
…，

取x∈[0，n）時(shí)，a_n=

n2-n+2

2

．

∴

an+49

n

=

n2-n+2 2 +49

n

=n+

100

n

-1≥2

n• 100 n

-1=19，當(dāng)n=10時(shí)取得最小值．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“取整函數(shù)[x]”的性質(zhì)、歸納法、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．