Question

已知正項等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比數列，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2ⁿ，求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的前n項和,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a₁+a₂+a₃=12，得a₂=4，2a₁，a₂，a₃+1成等比數列，得16=12（4-d）（4+d+1），由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由anbn=(3n-2)•2n，利用錯位相減法能求出數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁+a₂+a₃=12，∴a₂=4，
∵2a₁，a₂，a₃+1成等比數列，
∴a22=2a1(a3+1)，
∴16=12（4-d）（4+d+1），
解得d=-4或d=3，
∵a_n＞0，∴d=3．
∴a₁=4-3=1，
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2．
（2）∵anbn=(3n-2)•2n，
∴Sn=1×2+4×22+7×23+…+(3n-2)•2n，①
2Sn=  1×22+4×23+…+(3n-5)•2n+(3n-2)•2n+1，②
①-②，得：

-Sn=2+3(22+23+…+2n)-(3n-2)•2n+1 =2+3• 4(1-2n-1) 1-2 -(3n-2)•2n+1 =(5-3n)•2n+1-10

∴Sn=(3n-5)•2n+1+10．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．