Question

【題目】如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，，.現(xiàn)將沿翻折至，得四棱錐.

（1）證明：；

（2）若，求直線與平面所成角的正切值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）7

【解析】

（1）設(shè)為的中點(diǎn)，通過證明，來證明面，從而證得；

（2）法一：連結(jié)，設(shè)在面上的射影點(diǎn)為，則由題知點(diǎn)在上，且為直線與平面所成角，通過條件算出，，即可求得直線與平面所成角的正切值；

法二：如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量法求解直線與平面所成角的正切值.

（1）設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則，

故，則，

又，則，

所以是的角平分線，且三點(diǎn)共線.

由，且,得面，則；

（2）法一：連結(jié).

由平面得，平面平面，交線為，

所以在面上的射影點(diǎn)在上，

為直線與平面所成角.

在中，，由余弦定理得，

，故，，

又，在得，由余弦定理得，則，

所以，

由（1）得為角平分線，

在中，，由余弦定理得，則，所以

，所以直線與平面所成角的正切值為7.

法二：如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

，

設(shè)，由，得

，

得.,

平面法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以

，,則，

所以直線與平面所成角的正切值為7.