Question

【題目】已知函數f（x）＝x2+ax+blnx（a，b∈R），曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為2x﹣y﹣2＝0．

（1）判斷f（x）在定義域內的單調性，并說明理由；

（2）若對任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）≤m（ex﹣1﹣1）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（0，+∞）上為增函數；見解析（2）[2，+∞）

【解析】

求出原函數的導函數，利用f′(1)＝2及f(1)＝0聯立不等式組求解a，b的值，則函數解析式可求．(1)由f′(x)＞0在(0，+∞)上恒成立，可得f(x)在(0，+∞)上為增函數；

(2)對任意的x∈(1，+∞)，不等式f(x)≤m(ex﹣1﹣1)恒成立，即x2﹣x+lnx≤m(ex﹣1﹣1)恒成立，令g(x)＝m(ex﹣1﹣1)﹣x2+x﹣lnx，求其導函數，分析可知當m≥2時，g′(x)＞g′(1)≥0，g(x)單調遞增，則g(x)＞g(1)＝0；當0＜m＜2時，g′(x)＝0在(1，+∞)上必有實數根，設最小的正數根為x0，當x∈(1，x0)時，g′(x)＜0，g(x)單調遞減，則g(x)＜g(1)＝0，與題設不符；當m≤0時，g′(x)＜0，則g(x)單調遞減，g(x)＜g(1)＝0，與題意不符．

解：由f(x)＝x2+ax+blnx，得f′(x)＝2x+a(x＞0)．

由曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為2x﹣y﹣2＝0，

得，即a＝﹣1，b＝1．

∴f(x)＝x2﹣x+lnx．

(1)∵f′(x)＝2x﹣10在(0，+∞)上恒成立，

∴f(x)在(0，+∞)上為增函數；

(2)由(1)得，f(x)＝x2﹣x+lnx，

對任意的x∈(1，+∞)，不等式f(x)≤m(ex﹣1﹣1)恒成立，

即x2﹣x+lnx≤m(ex﹣1﹣1)恒成立，

令g(x)＝m(ex﹣1﹣1)﹣f(x)＝m(ex﹣1﹣1)﹣x2+x﹣lnx，

則g′(x)，注意到g(1)＝0，g′(1)＝m﹣2，

要使得對任意的x∈(1，+∞)，不等式f(x)≤m(ex﹣1﹣1)恒成立，即g(x)≥0，

則必有g′(x)在(1，1+δ)(其中δ為任意小的正數)大于0，亦有g′(1)≥0，則m≥2．

當m≥2時，令u(x)＝g′(x)，

u′(x)2ex﹣1﹣2＞0．

∴u(x)在(1，+∞)上單調遞增，則g′(x)＞g′(1)≥0，

∴g(x)單調遞增，則g(x)＞g(1)＝0；

當0＜m＜2時，g′(1)＝m﹣2＜0，當x→+∞時，g′(x)→+∞，

則g′(x)＝0在(1，+∞)上必有實數根，設最小的正數根為x0，

則當x∈(1，x0)時，g′(x)＜0，g(x)單調遞減，則g(x)＜g(1)＝0，與題設不符；

當m≤0時，g′(x)0，則g(x)單調遞減，g(x)＜g(1)＝0，與題意不符．

綜上所述，m的取值范圍為[2，+∞)．