【題目】已知函數
，其中e是自然對數的底數.
（1）若
，證明：
；
（2）若
時，都有
，求實數a的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）當
時，
，利用導數求出函數
的單調區間并求出最小值，即可證明
；
（2）令
，由
時，都有
，可得
在
上恒成立，利用導數判斷
在的單調性，分別討論
和
兩種情況，即可得到
的取值范圍.
（1）由題意，當時，，
所以
，當
時，
；
當
時，
，
單調遞減；
當
時，
，單調遞增；
所以在時取得極小值，也是最小值.
所以
.
（2）令
，，
由時，都有，所以在上恒成立.
由
，令
，
則
在上恒成立.
所以
在上單調遞增，又
，
①當時，
，
所以
在上單調遞增，
所以
，即，滿足題意.
②當時，因為在上單調遞增，
所以
，
存在
，使得當
時，
，在
上單調遞減，
所以當時，
，這與在上恒成立矛盾.
綜上所述，，即實數a的取值范圍
.
海淀黃岡名師導航系列答案
普通高中同步練習冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數學與文學之間存在著奇妙的聯系，詩中有回文詩，如“山東落花生花落東山，西湖回游魚游回湖西”，倒過來讀，仍然是原句！數學上也有這樣一類數，如66，202，3773，34543，無論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個數，我們稱這樣的數為“回文數”，現用數字1，2，3，4組數（可重復用），則組成的五位“回文數”的個數為（ ）
A.24B.28C.48D.64
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
：
的準線經過點
，過的焦點
作兩條互相垂直的直線
，
，直線與交于
，
兩點，直線與交于
，
兩點，則下列結論正確的是（ ）
A.
B.
的最小值為16
C.四邊形
的面積的最小值為64D.若直線的斜率為2，則
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在黨中央的英明領導下，在全國人民的堅定支持下，中國的抗擊“新型冠狀肺炎”戰役取得了階段性勝利，現在擺在我們大家面前的是有序且安全的復工復產.某商場為了提振顧客的消費信心，對某中型商品實行分期付款方式銷售，根據以往資料統計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數ξ的分布列為
其中0＜a＜1，0＜b＜1.
（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；
（2）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場獲得的利潤為3000元，假設該商場銷售兩件該商品所獲得的利潤為X（單位：元），
（i）設X＝5500時的概率為m，求當m取最大值時，利潤X的分布列和數學期望；
（ii）設某數列{xn}滿足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
＋
＝1(a>b>0)的兩焦點之間的距離為2，兩條準線間的距離為8，直線l：y＝k(x－m)(m∈R)與橢圓交于P，Q兩點．
(1) 求橢圓C的方程；
(2) 設橢圓的左頂點為A，記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k1k2＝－
，求實數m的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩位戰士參加射擊比賽訓練.從若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：
甲82 81 79 78 95 88 93 84
乙92 95 80 75 83 80 90 85
（1）用莖葉圖表示這兩組數據，并分別求兩組數據的中位數；
（2）現要從中選派一人參加射擊比賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位戰士參加合適？請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝x2+ax+blnx（a，b∈R），曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為2x﹣y﹣2＝0．
（1）判斷f（x）在定義域內的單調性，并說明理由；
（2）若對任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）≤m（ex﹣1﹣1）恒成立，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
：
，圓
：
，動圓
與圓和圓均內切.
（1）求動圓圓心的軌跡
的方程；
（2）過點的直線
與軌跡交于
，
兩點，過點且垂直于的直線交軌跡于兩點
，
兩點，求四邊形
面積的最小值.
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