Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．

（Ⅰ）求證：直線平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值；

（Ⅲ）設點在線段上，且二面角的余弦值為，求點到底面的距離．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論；

(Ⅱ)建立空間直角坐標系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后求解線面角的正切值即可；

(Ⅲ)設，由題意結合空間直角坐標系求得的值即可確定點到底面的距離．

(Ⅰ)由菱形的性質可知，

由線面垂直的定義可知：，且，

由線面垂直的判定定理可得：直線平面；

(Ⅱ)以點A為坐標原點，AD,AP方向為y軸,z軸正方向，如圖所示，在平面ABCD內與AD垂直的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則：，

則直線PB的方向向量，很明顯平面的法向量為，

設直線與平面所成角為，

則，.

(Ⅲ)設，且，

由于，

故：，據此可得：，

即點M的坐標為，

設平面CMB的法向量為：，則：

，

據此可得平面CMB的一個法向量為：，

設平面MBA的法向量為：，則：

，

據此可得平面MBA的一個法向量為：，

二面角的余弦值為，故：，

整理得 ，

解得：.

由點M的坐標易知點到底面的距離為或者.