Question

對于函數圖象上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數圖象上存在點M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得點m處的切線l∥AB，則稱AB存在“伴侶切線”．特別地，當X₀=

x1+x2

2

時，又稱AB存在“中值伴侶切線”．
（1）函數f（x）=x²圖象上兩點A（1，1），B（3，9），求AB的“中值伴侶切線”；
（2）若函數f（x）=lnx，試問：在函數f（x）上是否存在兩點A、B使得它存在“中值伴侶切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）取M（2，4），欲求求AB的“中值伴侶切線”，先求導數值f′2）=2×2=4得AB的“中值伴侶切線”的斜率，從而求出求AB的“中值伴侶切線”；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侶切線的意義結合導數工具，求出g（t）在（1，+∞）上單調遞增，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）M（2，4），f′2）=2×2=4
y=4x-4…（3分）
檢驗：kAB=

9-1

3-1

=4滿足…（4分）
（2）在函數f（x）上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴侶切線”．
假設存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
不妨設0＜x₁＜x₂，則kAB=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

…（6分）
在函數圖象x₀=

x1+x2

2

處的切線斜率k=f′（x₀）=f′（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

，
化簡得：

lnx 2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

…（8分）
令

x2

x1

=t，則t＞1，上式化為：lnt=

2(t-1)

t+1

，
即lnt+

4

t+1

=2
若令g（t）=lnt+

4

t+1

，g′（x）=

(t-1) 2

t(t+1) 2

，
由t＞1，g′（t）＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上單調遞增，
g（t）＞g（1）=2這表明在（1，+∞）內不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2
綜上所述，在函數f（x）上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴侶切線”． …（12分）

點評：考查利用導數研究函數單調性的能力，利用導數求函數極值的能力，以及直線斜率的計算公式，屬于中檔題．