Question

（本題滿分15分）已知函數  且導數.

  （Ⅰ）試用含有的式子表示，并求單調區間;  （II）對于函數圖象上的不同兩點，如果在函數圖象上存在點（其中）使得點處的切線，則稱存在“伴侶切線”.特別地，當時，又稱存在“中值伴侶切線”.試問：在函數上是否存在兩點、使得它存在“中值伴侶切線”，若存在，求出、的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) 在上單調遞增，在上單調遞減   (Ⅱ)  不存在

解析:

（Ⅰ）的定義域為  ， 得：  …2分  代入：  得

當時，  由 ，得

又  即 在上單調遞增          ……4分

當時，  由 ，得

又  即 在上單調遞減

 在上單調遞增，在上單調遞減             ……6分

（II）  在函數上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴侶切線”。

假設存在兩點，不妨設，則

，

=     ……8分

在函數圖象處的切線斜率

  

得：

化簡得：， …… 11分

令，則，上式化為：，即

若令，

由， 在上單調遞增，

這表明在內不存在，使得             ……14分

綜上所述，在函數上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴侶切線”。 …15分