Question

已知函數（），且.

（Ⅰ）試用含有的式子表示，并求的極值；

（Ⅱ）對于函數圖象上的不同兩點，，如果在函數圖象上存在點（其中），使得點處的切線，則稱存在“伴隨切線”. 特別地，當時，又稱存在“中值伴隨切線”. 試問：在函數的圖象上是否存在兩點、使得它存在“中值伴隨切線”，若存在，求出、的坐標，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），

當時，的極大值為

（Ⅱ）在函數上不存在兩點、使得它存在“中值伴隨切線”.理由略

【解析】（Ⅰ）的定義域為，

，，.          ……………2分

代入，得.

當時，，由，得，

又，，即在上單調遞增；

當時，，由，得，……………4分

又，，即在上單調遞減.

在上單調遞增，在上單調遞減.                  

所以，當時，的極大值為  ………………6分

（Ⅱ）在函數的圖象上不存在兩點、使得它存在“中值伴隨切線”.

假設存在兩點，，不妨設，則

，，

，

在函數圖象處的切線斜率

，

由

化簡得：，.

令，則，上式化為：，即，

若令，

，

由，，在在上單調遞增，.

這表明在內不存在，使得=2.

綜上所述，在函數上不存在兩點、使得它存在“中值伴隨切線”.…………13分