Question

已知函數f（x）=x-

2a-1

x

-2alnx（a∈R）
（Ⅰ）若函數f（x）在x=2時取極值，求實數a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f′(x)=1+

2a-1

x2

-

2a

x

，依題意有：f'（2）=0，即1+

2a-1

4

-a=0，通過檢驗滿足在x=2時取得極值．
（Ⅱ）依題意有：f_min（x，）≥0從而f′(x)=1+

2a-1

x2

-

2a

x

=

x2-2ax+(2a-1)

x2

=

(x-(2a-1))(x-1)

x2

，令f′（x）=0，得：x₁=2a-1，x₂=1，通過討論①當2a-1≤1即a≤1時②當2a-1＞1即a＞1時，進而求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′(x)=1+

2a-1

x2

-

2a

x

，
依題意有：f'（2）=0，即1+

2a-1

4

-a=0，
解得：a=

3

2

檢驗：當a=

3

2

時，
f′(x)=1+

2

x2

-

3

x

=

x2-3x+2

x2

=

(x-1)(x-2)

x2

此時：函數f（x）在（1，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
滿足在x=2時取得極值
綜上：a=

3

2

．
（Ⅱ）依題意有：f_min（x，）≥0
f′(x)=1+

2a-1

x2

-

2a

x

=

x2-2ax+(2a-1)

x2

=

(x-(2a-1))(x-1)

x2

，
令f′（x）=0，
得：x₁=2a-1，x₂=1，
①當2a-1≤1即a≤1時，
函數f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
則f（x）在[1，+∞）單調遞增，
于是f_min（x）=f（1）=2-2a≥0，
解得：a≤1；
②當2a-1＞1即a＞1時，
函數f（x）在[1，2a-1]單調遞減，在[2a-1，+∞）單調遞增，
于是f_min（x）=f（2a-1）＜f（1）=2-2a＜0，不合題意，
此時：a∈Φ；
綜上所述：實數a的取值范圍是a≤1．

點評：本題考察了函數的單調性，函數的極值問題，導數的應用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．