Question

【題目】如圖，在四面體P﹣ABCD中，△ABD是邊長為2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC= ．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）已知E是PA上一點，且BE∥平面PCD．若PC=2，求點E到平面ABCD的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC交BD于O，

∵PC⊥BP，BP∩CP=P，

∴PC⊥AB，

∵AB⊥BP，BP∩CP=P，

∴AB⊥平面PBC，

∴AB⊥BC，

∵BC= ，

∴tan∠BAC= ，即∠BAC=30°，

∵∠ABD=60°，

∴∠AOB=90°，

∴AC⊥BD，

∵PC⊥BD，

∴BD⊥平面ACP，

∵AP平面APC，

∴PA⊥BD

（2）解：取AD的中點F，連接BF，EF，

當E為PA的中點時，BE∥平面PCD，證明如下，

∵AB=BD，

∴BF⊥AD，

有（1）的BC=CD，則CD⊥AD，

∴EF∥CD，

∵E為PA的中點，

∴EF∥PD，

∴平面BEF∥平面PCD，

∵BE平面BEF，

∴BE∥平面PCD，

∵PC⊥底面ABCD，

∴點E到平面ABCD的距離等于 PC=1

【解析】（1）連接AC交BD于O，利用線線垂直得到線面垂直，即可證明PA⊥BD；（2）當E為PA的中點時，BE∥平面PCD，并證明，并得到點E到平面ABCD的距離等于 PC，問題得以解決．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．