Question

已知定義在（0，+∞）上的三個函數f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h（x）=x-a

x

且g（x）在x=1處取得極值．求a的值及函數h（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：把函數f（x）=lnx代入g（x）=x²-af（x），g（x）在x=1處取得極值，得到g′（1）=0，求得a，把a代入h（x）=x-a

x

，求導，令導數大于零，解不等式得函數h（x）的單調遞增區間．

解答：解：∵f（x）=lnx，∴g（x）=x²-af（x）=x²-alnx，
g′（x）=2x-

a

x

∵g（x）在x=1處取得極值
∴g′（1）=0，即2-a=0，
∴a=2，經檢驗知g（x）=x²-2lnx在x=1處取得極值，
∴a=2；
h（x）=x-2

x

令h′（x）=1-

1

x

＞0，解得x＞1
∴函數h（x）的單調遞增區間為（1，+∞）．

點評：考查x=x₀是極值點是f′（x₀）=0的充分非必要條件，應用導數求函數的單調區間的方法，屬中檔題．