Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣lnx+a﹣1，g（x）= +ax﹣xlnx，其中a＞0．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當x≥1時，g（x）的最小值大于 ﹣lna，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）．，

當0＜x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0．

∴函數f（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞）

（2）解：易知g'（x）=x﹣lnx+a﹣1=f（x）．

由（1）知，f（x）≥f（1）=a＞0，

所以當x≥1時，g'（x）≥g'（1）=a＞0．

從而g（x）在[1，+∞）上單調遞增，

所以g（x）的最小值 ．

依題意得 ，即a+lna﹣1＞0．

令h（a）=lna+a﹣1，易知h（a）在（0，+∞）上單調遞增．

所以h（a）＞h（1）=0，所以a的取值范圍是（1，+∞）

【解析】（1）求出函數的導數，利用導數的符號求解函數的單調性．（2）利用g'（x）=x﹣lnx+a﹣1=f（x）．結合（1）知，判斷g（x）在[1，+∞）上單調遞增，求出g（x）的最小值，推出a+lna﹣1＞0，令h（a）=lna+a﹣1，利用h（a）在（0，+∞）上單調遞增．求解a的范圍．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．