Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求曲線的極坐標方程；

(2)若點的極坐標為，是曲線上的一動點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）消去參數可以求出曲線C的普通方程，由，，能求出曲線的極坐標方程；

（2）解法一：極坐標法.設動點極坐標為，由正弦定理得的表達式，確定最大值.

解法二：幾何法. 過圓心作的垂線交圓于、兩點，交于點 .以為底邊計算，將最大值，轉化為底邊上的高最大值問題，由圓的性質，易得當點M與點P重合時，高 時取得最大值，由銳角的三角函數得，，，即可求出面積的最大值．

解法三：與解法二相同，最大值時，由勾股定理求得.

解法四：與解法二相同，最大值時，由圓心到之間距離計算.

詳解：解：（1）∵曲線的參數方程為（為參數），

∴消去參數得，即

∵，，

∴曲線的極坐標方程為即.

（2）解法一：設點的極坐標為且，

∴當且僅當即時，的最大值為

（2）解法二：

∵點、在圓上

∴過圓心作的垂線交圓于、兩點，

交于點

則

如圖所示,

（2）解法三：∵點、在圓上

∴過圓心作的垂線交圓于、兩點，交于點

則

下同解法二

（2）解法四：∵點、在圓上

∴過圓心作直線的垂線交圓于、兩點，交于點

∵直線的方程為：

∴點到直線的距離

下同解法二