Question

設

e1

，

e2

是兩個相互垂直的單位向量，且

a

=2

e1

+

e2

，

b

=

e1

-λ

e2

（1）若

a

⊥

b

，求λ的值；
（2）當λ=0時，求

a

，

b

夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據兩個向量垂直的性質可得

a

•

b

=0，即2

e1

2+(1-2λ)

e1

e2

-λ

e2

2=0 再由

e1

2=

e2

2=1，

e1

e2

=0，化簡求得 λ的值．
（2）由條件求得|

b

|、

a

•

b

、|

a

|的值，在利用兩個向量的夾角公式求得

a

，

b

夾角的余弦值．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，即(2

e1

+

e2

)•(

e1

-λ

e2

)=0．…（1分）
化簡得2

e1

2+(1-2λ)

e1

e2

-λ

e2

2=0．…（2分）
又

e1

，

e2

是兩個相互垂直的單位向量，∴

e1

2=

e2

2=1，

e1

e2

=0．…（3分）
∴2-λ=0，解得 λ=2．…（4分）
（2）當λ=0時，

b

=

e1

-λ

e2

=

.

e1

，|

b

|=1，

a

•

b

=(2

e1

+

e2

)•

e1

=2

e1

2=2，…（5分）
∵|

a

|2=

a

2=(2

e1

+

e2

)2=4

e1

2+4

e1

•

e2

+

e2

2=5，∴|

a

|=

5

…（7分）
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

2

5

=

2 5

5

．…（9分）

點評：本題主要考查用兩個向量的數量積表示兩個向量的夾角，兩個向量垂直的性質，屬于中檔題．