Question

【題目】已知函數定義在上的奇函數， 的最大值為.

（1）求函數的解析式；

（2）關于的方程在上有解，求實數的取值范圍；

（3）若存在，不等式成立，請同學們探究實數的所有可能取值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據,利用的最大值為，可得，再根據即可確定的解析式；(2) 關于的方程在上有解，即在上有解，根據函數單調性的求出的值域，即可得結果；(3)利用函數奇偶性和單調性之間的關系，可得不等式成立等價于成立，即存在使得成立，求出的最小值即可得結果.

試題解析：（1）定義在上的奇函數，所以，又易得，從而， ，所以， . 故.

（2）關于的方程在上有解，即在上有解

令： ，則在上單調性遞增函數，

所以在上的值域為，

從而，實數的取值范圍.

（3）因為是奇函數且在為單調遞增函數，

所以由有，

即：存在使得成立，分別由以及在上的圖像可知， 在上是增函數，所以，所以

又即，所以，綜上： .