Question

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=1，PD=

2

．
（Ⅰ）若M為PA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）連結(jié)PC交DE于N，易證AC∥MN．由線面平行的判定定理可得；（II）由垂直關(guān)系可以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z），可求得

n

=（1，1，

2

），設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ，則sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|，代值計(jì)算可得．

解答： 解：（I）在矩形PDCE中，連結(jié)PC交DE于N，則點(diǎn)N為PC的中點(diǎn)．
在△APC中，點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PC的中點(diǎn)，
∴AC∥MN．又MN?平面MDE，AC?平面MDE，∴AC∥平面MDE
（II）由∠ADC=90°可得AD⊥CD．
由平面PDCE⊥平面ABCD，且平面PDCE∩平面ABCD=CD，
可得AD⊥平面PDCE，∴AD⊥PD，又矩形PDCE中PD⊥CD，
以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），P（0，0，

2

），B（1，1，0），C（0，2，0），
∴

AP

=（-1，0，

2

），

CP

=（0，-2，

2

），

BC

=（-1，1，0）
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

CP

•

n

=-2y+

2

z=0，且

BC

•

n

=-x+y=0，
取y=1可得x=1，z=

2

，

n

=（1，1，

2

），
設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ，則sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|=

| AP • n |

| AP || n |

=

3

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定和直線與平面所成的角，建立空間直角坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．