定義函數
(
為定義域)圖像上的點到坐標原點的距離為函數的的模.若模存在最大值，則稱之為函數的長距；若模存在最小值，則稱之為函數的短距.
(1)分別判斷函數
與
是否存在長距與短距，若存在，請求出;
(2)求證：指數函數
的短距小于1;
(3)對于任意
是否存在實數
，使得函數
的短距不小于2，若存在，請求出的取值范圍；不存在，則說明理由？
（1）
短距為
，長距不存在，
短距為
，長距為5；（2）證明見解析；（3）
.
解析試題分析：本題屬于新定義概念，問題的實質是求函數
圖象上的點到原點的距離的最大值和最小值（如有的話）,正面討論時我們把距離表示為
的函數.（1）對
，
（當且僅當
時等號成立），因此存在短距為
，不存在長距，對
，
，
，即有最大值也有最小值，因此短距和長距都有；（2）對函數
，
，由于
，因此短距不大于1，令
，則有
，故當
時，存在
使得
，當
時，存在
使得 ，即證；（3）記
，按題意條件，則有不等式
對
恒成立，這類不等式恒成立求參數取值范圍問題，我們可采取分離參數法，轉化為求函數的最值，按
分別討論，由此可求得的范圍.
（1）設
（當且僅當
取得等號）+2分短距為，長距不存在。 +4分
（2）設
+6分
+8分短距為，長距為5。 +9分
（3）設
函數的短距不小于2
即
對于始終成立：+10分
當
時：
對于始終成立 
+12分
當
時：取
即可知顯然不成立 +13分
當
時：
對于始終成立 
+15分
綜上 
+16分
考點：新定義概念，函數的最大值與最小值，不等式恒成立問題.
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已知f(x)＝
(x≠a)．
(1)若a＝－2，試證明f(x)在(－∞，－2)內單調遞增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)內單調遞減，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（13分）（2011•湖北）設函數f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b為常數，已知曲線y=f（x）與y=g（x）在點（2，0）處有相同的切線l．
（Ⅰ） 求a、b的值，并寫出切線l的方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三個互不相同的實根0、x1、x2，其中x1＜x2，且對任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數
，其中
，
為正整數，
，
，
均為常數，曲線
在
處的切線方程為
.
（1）求，，的值；
（2）求函數
的最大值；
（3）證明：對任意的
都有
.（
為自然對數的底）
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．
在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
，若函數
在 [1，3]上恰有兩個不同零點，求實數
的取值范圍．
有最大值，
的單調區間．
,用
表示
當
時的函數值中整數值的個數.
,求
.
,若
,求
的最小值.