Question

【題目】已知橢圓過點,且離心率

（1）求橢圓的標準方程

（2）是否存在過點的直線交橢圓與不同的兩點,且滿足 (其中為坐標原點)。若存在,求出直線的方程；若不存在,請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在直線或滿足題意.

【解析】

(1)根據已知得到關于a,b,c的方程組，解方程組即得解.(2)對直線l的斜率分類討論，直線的斜率必存在,不妨設為，設直線的方程為,即，聯立直線和橢圓的方程得到,得到，把韋達定理代入向量的數量積，得到k的值.即得直線的方程.

（1）∵橢圓過點,且離心率

,解得,

∴橢圓的方程為

（2）假設存在過點的直線交橢圓于不同的兩點,且滿足

若直線的斜率不存在,且直線過點,則直線即為軸所在直線

∴直線與橢圓的兩不同交點就是橢圓短軸的端點,

∴直線的斜率必存在,不妨設為,

∴可設直線的方程為,即

聯立,消得,

∵直線與橢圓相交于不同的兩點,

得: 或①

設,

又,

化簡得,

或,經檢驗均滿足①式，

∴直線的方程為: 或，

∴存在直線或滿足題意.