Question

【題目】已知三次函數在和處取得極值，且在處的切線方程為.

（1）若函數的圖象上有兩條與軸平行的切線，求實數的取值范圍；

（2）若函數與在上有兩個交點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)求導后根據,且,可求得切線方程為,代入切點即可求得,進而得到,再根據函數的圖象上有兩條與軸平行的切線可知有兩個不相等的實數根,進而利用判別式求解即可.

(2)題意等價于在上有兩個不同的解.構造,,求導分析函數的單調性與最值,進而數形結合可求得的取值范圍即可.

（1）,

由題得,且,

即解得,.

于是,即,

故切線方程為.

因為切點在切線上,所以,

將代入,解得,

.

.

由題得有兩個不相等的實根,

,

解得.

（2）由題得在上有兩個不同的解,

即在上有兩個不同的解.

令,,

則,

由得或,

由得,

因為,所以在上單調遞增,在上單調遞減,

.

,,

,

由圖象知.