Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）已知，，設函數的最大值為，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求得函數的導數，分和兩種情況討論，即可求得函數的單調區間；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上單調遞增，結合零點的存在定理，得到存在唯一，使得，進而得出的單調性和最值，再結合函數的單調性，即可求解．

（Ⅰ）由題意，函數，則，

①當時，，所以函數在上單調遞增；

②當時，當時，，當時，，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．

（Ⅱ）依題意得，則，

因為當時，由（Ⅰ）可知在上單調遞增，

又因為，

所以存在唯一，使得.

當時，，，在上單調遞增；

當時，，，在上單調遞減；

因此在處取得最大值，

且最大值為，

設，則，

所以在上遞減，所以，即．