Question

【題目】已知函數，函數的導函數為．

⑴ 若直線與曲線恒相切于同一定點，求的方程；

⑵ 若，求證：當時， 恒成立；

⑶ 若當時， 恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)詳見解析;(3) .

【解析】試題分析：（1）由直線與曲線恒相切于同一定點轉化為曲線必恒過定點，即可求出切線的方程（2）構造，研究的單調性，從而證明當時， 恒成立（3）按照題目意思構造，求導后進行分類討論，當時、當時和當時三種情況，求得實數的取值范圍

解析：⑴ 因為直線與曲線恒相切于同一定點，

所以曲線必恒過定點，

由，令，得，

故得曲線恒過的定點為.

因為，所以切線的斜率，

故切線的方程為，即.

⑵因為，

所以令，

，設，

， 在上單調遞增，

當時， ，

即在上恒成立，

在上單調遞增，

因為，故當時， 即恒成立；

⑶令，

則.

， ，

①當時，因為，

所以在上單調遞增，故，

因為當時， ，

所以在上單調遞增，故.

從而，當時， 恒成立.

②當時，由⑵可得，

所以在上單調遞增，故.

從而，當時， 恒成立.

③當時， 在上單調遞增，

所以當時， 在內取得最小值.

故必存在實數，使得在上，即在上單調遞減，

所以當時， ，所以在上單調遞減，

此時存在，使得，不符合題設要求.

綜上①②③所述，得的取值范圍是.

說明：③也可以按以下方式解答：

當時， 在上單調遞增，

所以當時， 在內取得最小值，

當時， ，所以，

故存在，使得，且當時， ，

下同前述③的解答.